\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\pagestyle{empty}
\textwidth193mm
\textheight260mm
\hoffset-80pt
\topmargin-30mm

\begin{document}

\def\q#1.{{\bf #1. }}




\centerline{\bf \large Летние сборы 2000 г.}
\medskip
\centerline{\bf Математический бой. Команда и группа А}
\bigskip

\textbf{1}. В вып+уклом четырехугольнике $XYZT$ продолжения сторон $XT$ и $YZ$ пересекаются в точке $F$, а продолжения сторон $XY$ и $ZT$ пересекаются в точке $G$, диагонали $XZ$ и $YT$ --- в точке $O$, причем точка $Y$ лежит на обоих отрезках $FZ$ и $XG$.
Прямая $FO$ пересекает стороны $XY$ и $ZT$ в точках $A$ и $B$, а прямая $GO$ пересекает стороны $XT$ и $ZY$ в точках $C$ и $D$.
Докажите, что $AB+CD\leq YT+ {3\over2}XZ$.

\textbf{2}. Докажите, что любая функция $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ представима в виде суммы четырех взаимнооднозначных функций $f_i:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ (где $i\in\{1,2,3,4\}$).

\textbf{3}. Пусть $A$ -- множество из $n$ элементов, $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{n+1}$ --- непустые подмножества $A$.  Докажите, что существуют два непустых непересекающихся набора индексов $I,J\subset\{1,2,\dots,n+1\}$ такие, что \[\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcup_{j\in J} A_j.\]

\textbf{4}. На  высотах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного $\triangle ABC$ выбраны соответственно точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ такие, что $AA_2=BB_2=CC_2=2r$ (где $r$ --- радиус вписанной окружности $\triangle ABC$).
Докажите, что описанная окружность $\triangle A_2B_2C_2$ проходит через ортоцентр $\triangle ABC$.

\textbf{5}. Докажите, что число ${5^{125}-1\over 5^{25}-1}$ является составным.

\textbf{6}. Какое наименьшее количество доминошек $1\times2$ можно уложить на доске $100\times100$ таким образом, чтобы на доску нельзя было положить ни одной новой доминошки?

\textbf{7}. {\it Минидиаметром } конечного множества точек на плоскости называется наименьшее расстояние между двумя различными точками этого множества.
Докажите, что число пар точек в $n$-элементном множестве, расстояние между которыми равно минидиаметру, не превосходит $3n-\sqrt{12n-3}$.

\textbf{8}.  Дан граф $\Gamma$ такой, что удаление любых $11$ его вершин не нарушает связности графа, а степень каждой вершины $\Gamma$ более $100$.
Всегда ли ребра $\Gamma$ можно раскрасить в $5$ цветов так, чтобы ребра каждого цвета образовывали связный остовный подграф графа $\Gamma$.

\textbf{9}.  Докажите, что для любого квадратного трехчлена $P(x)$ с целыми коэффициентами существует натуральное $a$ такое, что все простые делители числа $P(a)$ меньше $a$.

\textbf{10}. Попарно взаимно простые числа $x,y,z\in\mathbb{Z}$ таковы, что $x^2+y^2=z^{2n}$, причем $p=4n-1$ --- простое число.
Докажите, что одно из чисел $x$ и $y$ делится на $p$.


\newpage

\centerline{\bf \large Летние сборы 2000 г.}
\medskip
\centerline{\bf Математический бой. Группа Б}
\bigskip


\textbf{1}. В $100$ вершинах связного графа со $101$ вершиной записаны целые числа.
Докажите, что и в свободную вершину графа можно записать натуральное число, меньшее $100$ так, что после этого при помощи операций <<прибавить к числам на концах любого ребра по $1$>> и <<вычесть из чисел на концах любого ребра по $1$>> можно добиться равенства всех чисел.

\textbf{2}. Вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается сторон $BC$, $AC$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно, $P$ --- точка пересечения отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Докажите, что $6$ точек пересечения прямых, проходящих через точку $P$ параллельно сторонам $\triangle A_1B_1C_1$, со сторонами $\triangle ABC$ лежат на одной прямой.

\textbf{3}. Последовательность $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ такова, что $\forall n\in\mathbb{N} \quad a_n=a_{n-1}^2+(a_{n-1}-1)^2$.
Найдите все рациональные числа $a_0$, для которых существуют четыре различных индекса $m$, $n$, $p$, $q$ такие, что $a_p-a_q=a_m-a_n$.

\textbf{4}. Докажите, что если при любом $a\in\mathbb{R}$ неравенство $f(x)\ne f(x+a)$
выполняется не более, чем в миллионе точек $x\in\mathbb{R}$, то $f(x)\equiv c$
для некоторого $c\in\mathbb{R}$, за исключением не более, чем $500000$ точек $x\in\mathbb{R}$.

\textbf{5}. Для любого простого числа $p\equiv1\pmod4$ выполняется тождество
\[\sum_{k=0}^{p-1} \cos {2\pi k^2\over p} = \sqrt{p}.\]

\textbf{6}. На бесконечной клетчатой лентев каждой клетке написано число $0$ или $1$.
Раз в минуту каждое число заменяется на остаток от деления на $2$ суммы своихсоседей.
Докажите, что если в некоторый момент расположение $0$ и $1$ на ленте повторится, то изначальная последовательность $0$ и $1$ на ленте была периодична.

\textbf{7}. Окружность с центром $O$ описана около четырехугольника $ABCD$.
Описанные окружности $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ пересекаются в точке $P$, $M$ --- точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.
Докажите, что $\angle OPM=90^\circ$.

\textbf{8}. Докажите, что для любого $N\in \mathbb{N}$ выполняется неравенство
\[d(N)\cdot\sqrt{N}<\sigma(n)<\sqrt{2d(N)}\cdot N,\]
где $d(N)$ --- сумма, а $\sigma(N)$ --- количество натуральных делителей числа $N$.

\textbf{9}. Многочлен $P(x)$ пятой степени имеет $5$ различных целых корней.
Какое наименьшее число ненулевых коэффициентов может быть у этого многочлена?

\textbf{10}. Из $n$ чисел образована $n+1$ различная неупорядоченная тройка.
Докажите, что существуют две тройки, пересекающиеся ровно по одному числу.
\end{document}
